Mějme\ dvě \ různoběžné\ polopřímky \ p\ a \ q\ mezi\ nimiž\ leží\ bod\ D.\
Sestrojte\ všechny\ kružnice,\ které\ se \ dotýkají\ daných\ polopřímek\ a \ procházejí\ bodem \ D.

Zadání: 

Krok 1

Krok 2

Krok 3

Krok 4

Krok 5 / řešení

Pokud\ se\ mají\ kružnice\ dotýkat\ obou\ zadaných\ přímek,\ musí\ od\ nich\ mít\ stejnou\ vzdálenost.\
Střed\ kružnic\ bude\  tedy\ ležet\ na\ ose\ úhlu,\ který\ svírají\ dané\ přímky.\
Sestrojíme\ tedy\ osu\ úhlu,\ svíraného\ přímkami\ p\ a\ q.

Na\ tuto\ osu\ umístíme\ střed\ pomocné\ kružnice\ k_1.

Uděláme\ spojnici\ bodů\ A\ a\ D,\ která\ protíná\ kružnici\ k_1\ ve\ dvou\ bodech.\
Tyto\ body\ označíme\ A_1\ a\ A_2.

Bodem\ D\ postupně\ vedeme\ rovnoběžky\ s\ |S_1A_1|\ a\ |S_1A_2| .\
Tyto\ rovnoběžky\ protínají\ osu\ úhlu\ v\ bodech\ H\ a\ G.\
Tyto\ body\ jsou\ středy\ námi\ hledaných\ kružnic.

Řešení

Postup

Pokud\ bod\ D\ leží\ na\ jedné\ z\ přímek\ p,q\ pak\ existuje\ jediné\ řešení.\
Pokud\ bod\ D\ leží\ mezi\ přímkami\ existují\ dvě\ řešení.\
V\ případě,\ že\ bod\ D\ splývá\ s\ bodem\ S=p∩q\ pak\ řešení\ neexistuje.\

Diskuse

S_2

S_1

k_1

k_2

Pokud\ bod\ D\ leží\ na\ ose\ úhlu\ ∢pq\ existují\ dvě\ řešení\ (v\ tomto\ případě\ stejnolehlé\ kružnice).\

Na\ osu\ úhlu\ vedeme\ kolmici\ h\ bodem\ D.\
Tato\ kolmice\ protíná\ přímky\ p,q\ v\ bodech\ X,Y.\
Vzniklý\ \Delta XSY\ je\ rovnoramenný.

h

X

Y

Krok 1

Nyní\ sestrojíme\ osy\ úhlu\ ∢XYS,\ označíme\ je\ ε\ a\ δ.\
Průsečíky\ osy\ úhlu\ ∢pq\ s\ \varepsilon\ a\ \delta\ jsou\ středy\ hledaných\ kružnic.

S_2

S_1

Krok 2

Sestrojíme\ hledané\ kružnice\ k_1(S_1,|S_1D|)\ a\ k_2(S_2,|S_2D|).

Krok 3

S = (0, 0)
B = (13.21580386775919, 31.998283866911258)
C = (30, 10)
D = (51.36389124947665, 85.05880540693657)
p = Ray(S, B)
q = Ray(S, C)
f, g = AngularBisector(q, p)
S_1 = Point(f)
h = OrthogonalLine(S_1, q)
F = Intersect(h, q)
k_1 = Circle(S_1, F)
r_1 = Segment(S_1, F)
i = Ray(S, D)
A_1 = Intersect(k_1, i, 1)
A_2 = Intersect(k_1, i, 2)
j = Segment(S_1, A_2)
α = Angle(r_1, q)
k = Segment(A_1, S_1)
l = Line(D, j)
m = Line(D, k)
G = Intersect(f, m)
H = Intersect(f, l)
k_2 = Circle(H, D)
k_3 = Circle(G, D)
a = false
b = false
e = false
o = false
c = false
d = Circle(H, D)
r = Circle(G, D)
n = false
s = false
t = false
f_1 = OrthogonalLine(D, p)
g_1 = OrthogonalLine(D, q)
A = Intersect(f_1, p)
E = Intersect(g_1, q)
h_1 = Segment(A, D)
i_1 = Segment(D, E)
j_1, l_1 = AngularBisector(q, p)
m_1 = OrthogonalLine(D, j_1)
n_1, p_1 = AngularBisector(q, m_1)
I = Intersect(j_1, p_1)
J = Intersect(j_1, n_1)
c_1 = Circle(I, D)
d_1 = Circle(J, D)
q_1, s_1 = AngularBisector(q, p)
K = Point(q_1)
t_1 = Ray(S, K)
a_1 = OrthogonalLine(D, t_1)
L = Intersect(a_1, p)
M = Intersect(a_1, q)
u = false
b_1, e_1 = AngularBisector(q, a_1)
N = Point(e_1)
O = Point(b_1)
f_2 = Ray(M, N)
g_2 = Ray(M, O)
P = Intersect(t_1, f_2)
Q = Intersect(t_1, g_2)
v = false
c_2 = Circle(P, D)
d_2 = Circle(Q, D)
w = false